问题1：$\\mathrm{a},\\mathrm{b},\\mathrm{c}$为正整数，证明$\\mathrm{abc}=\\mathrm{8}(\\mathrm{a}+\\mathrm{b}+\\mathrm{c})$的三元组（$\\mathrm{a}$，$\\mathrm{b}$，$\\mathrm{c}$）至少存在一组。
答案1：设$\\mathrm{a}\\leq\\mathrm{b}\\leq\\mathrm{c}$，则$\\mathrm{abc}\\leq\\mathrm{c}^3$，$\\mathrm{8}(\\mathrm{a}+\\mathrm{b}+\\mathrm{c})\\geq\\mathrm{24}\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}$。由此可得$\\mathrm{c}^3\\geq\\mathrm{24}\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}$，即$\\mathrm{c}^6\\geq\\mathrm{2}^{10}\\mathrm{abc}$，由于$\\mathrm{c}\\geq\\mathrm{3}$，因此$\\mathrm{abc}\\leq\\mathrm{81}$，我们只需枚举即可得到结果。
问题2：已知$\\mathrm{a}$，$\\mathrm{b}$，$\\mathrm{c}$均是正整数且$\\mathrm{a}+\\mathrm{b}+\\mathrm{c}=100$，求满足$\\mathrm{abc}$最大的一组$\\mathrm{a}$，$\\mathrm{b}$，$\\mathrm{c}$的值。
答案2：设$\\mathrm{a}\\leq\\mathrm{b}\\leq\\mathrm{c}$，根据均值不等式有$\\dfrac{\\mathrm{a}+\\mathrm{b}+\\mathrm{c}}{3}\\geq\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}$，代入条件可得$\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}\\leq\\dfrac{\\mathrm{100}}{3}$。由于$\\mathrm{abc}$是整数，因此$\\mathrm{a}$，$\\mathrm{b}$，$\\mathrm{c}$中至少有一个为$\\dfrac{99}{3}=33$，又因为三者的值是相等或相邻的，因此$\\mathrm{a}=33$，$\\mathrm{b}=33$或$\\mathrm{34}$，$\\mathrm{c}=33$或$\\mathrm{32}$。不难发现$\\mathrm{abc}$最大的情况为$\\mathrm{a}=33$，$\\mathrm{b}=33$，$\\mathrm{c}=34$，$\\mathrm{abc}=\\mathrm{37338}$。
问题3：如图，在$\\Delta\\mathrm{ABC}$中，点$\\mathrm{D}$在$\\mathrm{BC}$边上，$\\mathrm{E}$在$\\mathrm{AC}$边上，$\\mathrm{F}$在$\\mathrm{AB}$边上，$\\mathrm{AD}$、$\\mathrm{BE}$、$\\mathrm{CF}$交于同一点$\\mathrm{G}$，且有$\\dfrac{\\mathrm{BG}}{\\mathrm{GC}}=\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{AF}}{\\mathrm{FB}}$。证明：$\\prod\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\prod\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=1$。
答案3：由$\\dfrac{\\mathrm{BG}}{\\mathrm{GC}}=\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}$，可得$\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GB}}$，$\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{CG}}{\\mathrm{GE}}$，同理有$\\dfrac{\\mathrm{AF}}{\\mathrm{FB}}=\\dfrac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{EC}}$，$\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\dfrac{\\mathrm{BE}}{\\mathrm{EA}}$，$\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{CF}}{\\mathrm{FA}}$。因此$\\prod\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GB}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{BE}}{\\mathrm{EA}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\mathrm{1}$，$\\prod\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{CG}}{\\mathrm{GE}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{EC}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{CF}}{\\mathrm{FA}}=\\mathrm{1}$。
问题4：已知$\\mathrm{AB}$是$\\mathrm{Rt}\riangle\\mathrm{ABC}$的斜边，$\\mathrm{AH}$为$\\mathrm{BC}$上的高，$\\mathrm{AD}$为$\\mathrm{BC}$上的中线，$\\mathrm{M}$为$\\mathrm{AD}$的中点，$\\mathrm{N}$为$\\mathrm{AC}$上任意一点，$\\mathrm{BM}$交$\\mathrm{HN}$于点$\\mathrm{P}$。证明：$\\angle\\mathrm{BPH}=\\angle\\mathrm{CPA}$。
答案4：$\\because\\mathrm{BM}\\parallel\\mathrm{AD}$，$\herefore\\angle\\mathrm{BPH}=\\angle\\mathrm{PHM}$，又$\\because\\mathrm{HN}\\parallel\\mathrm{AC}$，$\herefore\\angle\\mathrm{CPA}=\\angle\\mathrm{MPN}$。现在只需证明$\\angle\\mathrm{PHM}=\\angle\\mathrm{MPN}$即可。因为$\\mathrm{AH}\\cdot\\mathrm{HH}_{1}=\\mathrm{BH}\\cdot\\mathrm{HC}=\\mathrm{DH}\\cdot\\mathrm{HA}$，$\herefore\\mathrm{AH}\\cdot\\mathrm{HD}=\\mathrm{HH}_{1}\\cdot\\mathrm{HA}$，因此$\\dfrac{\\mathrm{HD}}{\\mathrm{HA}}=\\dfrac{\\mathrm{HH}_{1}}{\\mathrm{HA}}=\\dfrac{\\mathrm{MA}}{\\mathrm{MN}}$。又因为$\\angle\\mathrm{HKM}=\\angle\\mathrm{AND}$，$\\angle\\mathrm{KNH}=\\angle\\mathrm{ANH}$，因此$\\mathrm{Rt}\riangle\\mathrm{AMN}\\sim\\mathrm{Rt}\riangle\\mathrm{HNP}$，$\herefore\\angle\\mathrm{MPN}=\\angle\\mathrm{MHN}$，$\herefore\\angle\\mathrm{PHM}=\\angle\\mathrm{MPN}$，证毕。
问题5：有一张长度为$\\mathrm{8}$厘米，宽度为$\\mathrm{6}$厘米的矩形纸片，现将其对角线剪开并移动得到如下三角形。求这个三角形的面积不大于矩形面积的概率。
答案5：设三角形的底边长为$\\mathrm{x}$，则三角形的高为$\\sqrt{\\mathrm{16}-\\mathrm{x}}$。根据题意得$\\mathrm{x}\\leq\\dfrac{\\mathrm{6}\\sqrt{\\mathrm{5}}}{\\mathrm{5}}$，因此这个三角形的面积不大于矩形面积的概率为$\\dfrac{[\riangle\\mathrm{ABC}]}{[\\mathrm{ABCD}]}=\\dfrac{\\frac{1}{2}\\cdot\\mathrm{x}\\cdot\\sqrt{\\mathrm{16}-\\mathrm{x}}}{\\mathrm{48}}=\\dfrac{\\mathrm{x}\\sqrt{\\mathrm{16}-\\mathrm{x}}}{\\mathrm{96}}\\approx0.400$。
问题6：$\\mathrm{ABCD}$是一个面积为$\\mathrm{1}$的正方形，点$\\mathrm{E}$、$\\mathrm{F}$分别在$\\mathrm{BC}$、$\\mathrm{CD}$上，满足$\\dfrac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{BE}}+\\dfrac{\\mathrm{CF}}{\\mathrm{DF}}=\\mathrm{1}$。求$\\mathrm{EF}$所在线段上的点的面积不大于$\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}}{2}$的概率。
答案6：设$\\mathrm{EF}$与$\\mathrm{AD}$的交点为$\\mathrm{G}$，则$\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GD}}=\\dfrac{\\mathrm{BF}}{\\mathrm{DE}}$，又因为$\\mathrm{BF}+\\mathrm{DE}=\\mathrm{1}$，因此$\\dfrac{\\mathrm{BF}}{\\mathrm{DE}}=\\dfrac{\\mathrm{1}-\\mathrm{DE}}{\\mathrm{DE}}$，代入可得$\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GD}}=\\dfrac{\\mathrm{DE}^2}{\\mathrm{1}-\\mathrm{DE}}=\\dfrac{\\mathrm{y}^2}{\\mathrm{1-y}}$，其中$\\mathrm{y}=\\mathrm{DE}$。不难求得$\\mathrm{y}$的取值范围为$\\left[0,\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}-1}{2}\\right]$。因此$\\mathrm{G}$所在的线段就是一条长为$\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}-1}{2}$的线段，所求概率即为$\\dfrac{\\frac{1}{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{2}-1}{2}}{1}=\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}-1}{4}\\approx0.207$。
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