线性代数科学出版社范益政课后答案详解（线性代数ABC：范益政课后答案详解）

分类: 生活资讯 编辑 : 〃xnm 发布 : 2025-07-14 22:32:52

线性代数ABC：范益政课后答案详解

Introduction

线性代数是一门数学科目，引入几何代数、线性方程组、多项式、线性变换和矩阵等内容。范益政的线性代数自学指导是一本广受欢迎的教材，由美国科学出版社与机械·工业出版社合作出版，是计算机科学与工程（CSE）专业学生必读书目之一。

Section 1：第一章答案详解

第一章是线性代数的基础，包括矩阵和向量等概念。以下是该章节的一些经典问题和范益政课后答案详解：

问题1.1
已知 $(3, -2)$ 和 $(2, 5)$，求它们的坐标向量和模长

根据向量的概念，（3, -2）和（2, 5）是两个二维向量，其坐标向量为 [3 -2] 和 [2 5]，模长分别为sqrt（3^2+（-2）^2）和sqrt（2^2+5^2）。因此，[3 -2] 和 [2 5] 是两个向量的坐标向量，它们的模长分别是3.61和5.39。

问题1.2
已知 $A\\begin{bmatrix}1 & 2 \\\\3 & 4\\end{bmatrix}$ 和 $B\\begin{bmatrix}5 & 6 \\\\7 & 8\\end{bmatrix}$，求 $A+B$ 和 $AB$

对于矩阵A和矩阵B，可以先求 A+B，即$\\begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\\\3+7 & 4+8\\end{bmatrix}$，得到 $\\begin{bmatrix} 6 & 8 \\\\10 & 12\\end{bmatrix}$。针对AB，首先要做的是将B的列写成行，即$$B=\\begin{bmatrix}5 & 6\\\\7 & 8\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}5\\\\7\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}6&8\\end{bmatrix}$$将AB写成矩阵运算形式：$\\begin{bmatrix}1 & 2 \\\\3 & 4\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}5 & 6 \\\\7 & 8\\end{bmatrix}$。计算第一行乘以第一列得到$1\imes 5+2\imes 7$，得到第一个元素。同理第一行乘以第二列得到$1\imes 6+2\imes 8$，得到第二个元素。接下来是第二行的运算，类似得到 $\\begin{bmatrix} 19 & 22 \\\\ 43 & 50\\end{bmatrix}$。

Section 2：第二章答案详解

第二章主要介绍线性方程组的问题，包括高斯消元等内容。

问题2.1
Solve the following equations using the Gauss-Jordan method：
$x+y+z=6$
$2x-y+z=5$
$7x-4y+5z=10$

根据高斯-约旦消元法，我们需要选定任一元素作为主元，将其余所有元素变为0。对于这个问题，我们可以选择第一行第一列的元素1作为主元。消去第二行的第一个元素，将其变为零。再次消去第三行的第一个元素，得到以下结果：

$$\\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6\\\\0 & -3 & -1 & -1\\\\0 & 0 & -23 & -32\\end{bmatrix}$$

根据消元后的矩阵可以得到：$x=3, y=-2, z=1$。

问题2.2
Solve the following differential equation $\\frac{dy}{dx}+2y=3$ using integrating factor method

该问题的特殊解法是对微分方程进行积分因子运算，通过该方法，转化后的方程将变得更容易求解。
$$\\frac{dy}{dx}+2y=3$$

将上述方程化为以下形式：

$$\\frac{d}{dx}(e^{2x}y)=3e^{2x}$$

对其两边积分:

$$e^{2x}y=\\int3e^{2x}dx=c_1e^{2x}+c_2$$

因此，$y=c_1+c_2e^{-2x}+\\frac{3}{2}$，代入初值条件求解常数c1和c2。

Section 3：第三章答案详解

第三章讲解的是矩阵的许多性质，例如矩阵的行列式和秩。

问题3.1
Find the rank of the following matrix:

$$\\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\\4 & 5 & 6\\\\7 & 8 & 9\\end{bmatrix}$$

对于一个3×3的矩阵，利用消元法可以降维（是3），从而模糊确定秩$r$。在这个例子中我们可以通过令$(row2-4row1)$ 和 $(row3-7row1)$得到以下矩阵

$$\\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\\0 & -3 & -6\\\\0 & -6 & -12\\end{bmatrix}$$对于得到的矩阵，行2和行3的系数是对应的，而且第二行的系数是第三行的系数的两倍。由此我们可以知道此矩阵是可约的，并且它的秩是1。

问题3.2
Find the inverse of the following matrix:

$$\\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\\2 & 5 & 3\\\\1 & 0 & 8\\end{bmatrix}$$

对于一个3 x 3的矩阵$\\begin{bmatrix}a & b & c \\\\d & e & f \\\\ g & h & i\\end{bmatrix}$，它的逆矩阵的行列式为 ($aei + bfg + cdh$) - ($ceg + bdi + afh$)。当原矩阵的行列式不等于0时，原矩阵有逆矩阵，且该逆矩阵的元素可用原矩阵的元素和它们的余子式构造而来。

此矩阵的行列式为-35，因此该矩阵具有逆矩阵。所以需要根据以下公式计算每个元素：

$$\\begin{bmatrix}d & e & f \\\\h & i & g \\\\d & e & f\\end{bmatrix}$$

因此，得到以下结果：

$$\\begin{bmatrix}-\\frac{8}{35} & -\\frac{3}{35} & \\frac{7}{35}\\\\\\frac{3}{35} & \\frac{2}{35} & -\\frac{2}{35}\\\\\\frac{1}{7} & -\\frac{2}{35} & \\frac{1}{35}\\end{bmatrix}$$

总结

以上是范益政的线性代数自学指导的一些答案详解，为线性代数的学习和解决问题提供了思路。检查答案并确保问题得到了正确的答案对于学生来说非常重要，特别是在需要在线性代数的分析和应用中使用时。

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