单纯形法无穷多解的情况（单纯形法的无限解情况）

单纯形法的无限解情况

介绍：单纯形法是线性规划中使用较为广泛的一种算法。该算法的基本思想是通过从当前基本解出发，逐步改变基本解中的非基本变量，直到找到最优解的过程。然而，在某些情况下，单纯形法可能会遭遇无限解的问题。本篇文章将重点讨论单纯形法的无限解情况及其解决方法。

什么是无限解？

在单纯形法中，如果目标函数的最优值可以在多个点上达到，那么我们就称问题具有无限解。简单来说，一个问题存在无限解，当且仅当在最优解处，目标函数可以取到它的最优值，而且还可以取到其他相同的值。

假设我们有如下的线性规划问题：

max z = 2x1 + x2

subject to:

x1 - 2x2 <= 4

3x1 + x2 >= 3

x2 >= 0

该问题的图像如下所示：

可以看出，该问题存在无限解。在最优解处，目标函数可以取到2，而它的下界是无限的。这是因为在约束条件中存在一条直线3x1+x2=3将可行域分成了两个部分，一个部分中的最优解为（2，0），而另一个部分没有最优解。

如何判断问题是否存在无限解？

现在，我们来讨论如何判断一个问题是否存在无限解。

通过观察问题的图像，我们可以发现以下规律：

1. 如果可行域的一条边是目标函数的等值线，那么该问题具有无限解。
2. 如果可行域有一条边与目标函数的等值线平行，那么该问题是无限制的或不存在最优解。
3. 如果在可行域内存在一个无穷的线段上每一点的目标函数等值相等，那么该问题具有无限解。

综上可知，如果能够找到一个等值线与可行域边重合，或者在可行域内存在一个无穷的线段上每一点的目标函数等值相等，那么该问题就存在无限解。

如何解决无限解问题？

单纯形法的常规操作是通过从当前基本解中选择一个非基本变量进行入基操作，然后通过离基操作计算新的基本解。当然，如果进入的非基本变量对应的列是单纯形表中最后一行的系数全都小于等于0，那么该问题就不存在最优解。

在处理无限解问题时，我们需要采取一些特殊的措施。一种方法是我们可以在单纯形法的基础上，增加一些额外的约束来限制可行域，使其不包含无限解。

比如，在上面的例子中，我们可以添加以下约束：

x1 <= 5

该约束可以用来限制可行域，使其仅由顶点组成。此时，解的集合为{(0,0),(0,2),(5,0)}. 对应的目标值分别为0,2和10。在这个集合中，我们可以找到最优解以及目标函数达到最大值的唯一点（5，0）。

另一种方法是我们可以采用另外一种线性规划算法，如内点法等。

总结

在单纯形法中，无限解是一个比较特殊的现象。除了以上介绍的限制可行域或者采用其他算法的方式，若在实际应用当中遇到了无限解问题，还可以与业务方进行沟通和协商，重新定义约束条件，使得单纯形法能够求解，或该问题得到解决，满足业务需求。

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